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Questions Covered in This PDF:

1. निम्नलिखित में से किसी एक प्रश्न का उत्तर दीजिए।

(A) 30 सदस्यों के एक बड़े संयुक्त परिवार में 10 सदस्यों को केवल लाल रंग पसंद है। 15 सदस्यों को केवल नीला रंग पसंद है। 2 सदस्यों को दोनों रंग पसंद हैं।
यदि
R = परिवार के उन सदस्यों का समुच्चय है जिन्हे लाल रंग पसंद हैं,
B = परिवार के उन सदस्यों का समुच्चय है जिन्हे नीला रंग पसंद हैं।
(i) केवल लाल रंग पसंद करने वाले परिवार के सदस्यों के समुच्चय को समुच्चय R और समुच्चय B के रूप में कैसे दर्शाया जा सकता है?
(ii) केवल नीला रंग पसंद करने वाले परिवार के सदस्यों के समुच्चय को समुच्चय R और समुच्चय B के रूप में कैसे दर्शाया जा सकता है?
(iii) ऐसे सदस्यों की संख्या ज्ञात कीजिए जिन्हें न तो लाल रंग पसंद है और न ही नीला रंग ।
(iv) प्रश्न में दी गयी स्थिति के लिए एक वेन आरेख बनाएं।

(B) क्या निम्नलिखित फलन सम है या विषम ? फलन का प्रांत भी ज्ञात कीजिये ।

2. निम्नलिखित प्रश्नों में से किसी एक प्रश्न का उत्तर दीजिए।

(A) x2 + 2x + 4 = 0 द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए | ऑरगंड तल पर द्विघात समीकरण के ज्ञात किए गए मूलों को निरूपित भी करें।
(B) सभी n E N के लिए, गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके निम्नलिखित कथन को सत्यापित करें:

3.निम्नलिखित प्रश्नों में से किसी एक प्रश्न का उत्तर दीजिए।

(A) रु. 1000 प्रति वर्ष 10% चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा किया जाता है। किसी भी वर्ष के अंत में खाते में मिश्रध की गणना नीचे दिए गए सूत्र से की जा सकती है:
जहां A मिश्रधन है, P जमा किया गया मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज दर है और n समय अवधि (वर्षों में) है जिसके लिए मूलधन का निवेश किया गया।
(i) प्रथम, द्वितीय और तीसरे वर्ष के अंत पर मिश्रधन ज्ञात कीजिए |
(ii) दर्शाए कि प्रत्येक वर्ष के अंत में खाते में मिश्रधन का क्रम एक गुणोत्तर श्रेणी(G.P.) बनाता है।

(B) आदर्श, बाबिल और चरणजीत एक खेल खेल रहे थे | इस खेल में उन्हें चावल के दानों को 3 X 3 की बिसात/चेकरबोर्ड पर व्यवस्थित करना था, जिसमें नौ वर्ग थे | इन वर्गों पर क्रमश: से 9 तक की संख्याएँ लिखी हुई थीं, जैसा कि नीचे दर्शाया गया है:

आदर्श ने प्रत्येक वर्ग पर चावल के दानों को इस प्रकार व्यवस्थित किया कि चावल के दानों की संख्या वर्गों पर लिखी संख्या के बराबर हो। अर्थात्, उसने "1" अंकित वर्ग पर एक (1) दाना रखा, "2" अंकित वर्ग पर दो दाने (2) रखें, इत्यादि ।
बाबिल ने प्रत्येक वर्ग पर चावल के दानों को इस प्रकार व्यवस्थित किया कि चावल के दानों की संख्या वर्गों
पर लिखी संख्या के वर्ग के बराबर हो । अर्थात्, उसने "1" अंकित वर्ग पर एक ( = 12 ) दाना रखा, "2" अंकित वर्ग पर चार (= 22 ) दाने रखें, इत्यादि
चरणजीत ने प्रत्येक वर्ग पर चावल के दानों को इस प्रकार व्यवस्थित किया कि चावल के दानो की संख्या वर्गों पर लिखी संख्या के घन के बराबर हो । अर्थात्, उसने "1" अंकित वर्ग पर एक (= 13) दाना रखा, "2" अंकित वर्ग पर आठ (= 23) दाने रखें, इत्यादि ।

क्रमशः व्यादर्श, बाबिल और चरणजीत द्वारा चेकबोर्ड पर व्यवस्थित किए गए चावल के दानों की कुल संख्या का अनुपात ज्ञात कीजिए ।

4. निम्नलिखित प्रश्नों में से किसी एक प्रश्न का उत्तर दीजिए ।

(A) (i) सिद्ध करें कि:- sin 2x+sin4x/1+cos2x+cos4x = tan2x
(ii) निम्नलिखित समीकरण हेतु 0 का व्यापक मान ज्ञात कीजिए:-
4cos 20 = 3

(B) अरुण ने सर्दियों में सड़क पर कुछ कुत्तों को ठंड से कांपते हुए देखा। उसने उनके लिए एक छोटा त्रिकोणीय शेड बनाने का फैसला किया (शेड का एक छोर जैसा कि चित्र में दिखाया गया है)। उसके पास 2.45 मीटर, 1.80 मीटर और 2.2 मीटर लंबी छड़ें हैं जिनका उपयोग करके उसने शेड का फ्रेम बनाया। चित्र में दिखाए अनुसार त्रिकोणीय फ्रेम बनाने के लिए उन कोणों (ZA, ZB, LC) का मान ज्ञात कीजिए जिन पर छड़ें एक दूसरे के साथ व्यवस्थित हैं।
इस त्रिकोण के लिए साइन- सूत्र भी सत्यापित कीजिए |

5. निम्नलिखित में से किसी एक प्रश्न का उत्तर दीजिए।

(A) (i) मुंबई और नई दिल्ली रेलवे स्टेशन के बीच 5 रेलवे स्टेशन हैं। किसी यात्री द्वारा किन्हीं दो स्टेशनों के बीच यात्रा करने के लिए कितने अलग-अलग टिकटों को मुद्रित करने की आवश्यकता होगी?
(ii) 3 लड़कों और 7 लड़कियों में से 5 की एक समिति बनायी जानी है। यह कितने विधियों से किया जा सकता है यदि समिति में:
(a) ठीक, 2 लड़कियाँ हों।
(b) कम से कम 2 लड़कियाँ हों।
(B) (i) (1+a)" के विस्तार मे यदि लगातार तीन पदों के गुणांक A. P. में हैं, तो सिद्ध करें कि n+ 2 एक पूर्ण वर्ग है।
(ii) x2+5x+10 < 4 असमिका को हल करें |

6. निम्नलिखित प्रश्नों में से किसी एक प्रश्न का उत्तर दीजिए।

(A) नियमित 52 ताश के पत्तों की एक गड्डी में चार सूटों में से प्रत्येक में तेरह पत्ते होते हैं: चिड़ी (4), ईंट (*),
पान (V), और हुकुम (4)। पान और ईंट वाले पत्तों की छपाई लाल स्याही से की जाती है जबकि चिड़ी और हुकुम वाले पत्ते काले रंग में छपे होते है । प्रत्येक सूट में तीन फ़ेस कार्ड / तस्वीर वाले पत्ते होते हैं - बादशाह, बेगम और गुलाम – जिनमें उलटने योग्य (या दो सिरों वाले) चित्र छपे होते हैं। प्रत्येक सूट में दस अन्य पत्तें भी होते हैं, एक (इक्के) से लेकर दस तक
(i) यदि 52 ताशों की अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता खींचा गया, प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह पत्ता
(a) चिड़ी का पत्ता होगा?
(c) हुकुम का बेगम होगा?
(b) काले पत्ते वाले बादशाह होगा?
(d) एक लाल हुकुम होगा?
(ii) 52 पत्तों की गड्डी में से किसी एक पत्ते को चुनना सम्प्रायिक है। सत्यापित करें कि क्या निम्नलिखित घटनाएँ स्वतंत्र हैं?
घटना A: निकाला गया पत्ता एक ईंट का है |
घटना B: निकाला गया पत्ता एक बेगम का है |
(iii) ताश के 52 पत्तों की गड्डी में से एक पत्ता खो गया है। गड्डी के शेष पत्तों में से, तीन पत्ते यादृच्छिक रूप से (प्रतिस्थापन के बिना) निकाले जाते हैं और सभी चिड़ी के पत्ते पाए जाते हैं। खोए हुए पत्ते के एक चिड़ी होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ।

                                     **(B) वायु गुणवत्ता सूचकांक (एक्यूआई)**

जनता को यह सूचित करने के लिए कि वर्तमान में हवा कितनी प्रदूषित है या भविष्य में कितनी प्रदूषित होने की संभावना है, इस हेतु सरकारी संगठनों ने एक प्राचल / मापदंड बनाया है जिसे वायु गुणवत्ता सूचकांक (AQI) कहते है। वायु प्रदूषण के स्तर और संबंधित सार्वजनिक स्वास्थ्य जोखिम के साथ AQI बढ़ता है। खराब वायु गुणवत्ता आम तौर पर सबसे पहले बच्चों, बुजुर्गों और श्वसन या हृदय संबंधी समस्याओं वाले लोगों को प्रभावित करती है। सरकारी संगठन आम तौर पर नागरिकों को वायु गुणवत्ता

सूचकांक (एक्यूआई) अधिक होने पर अपनी बाहरी शारीरिक गतिविधि को सीमित करने या शायद पूरी तरह से घर के अंदर रहने की सलाह देते हैं। वायु गुणवत्ता की स्थिति और मानव स्वास्थ्य पर इसके प्रभावों को प्रस्तुत करने के लिए, निम्नलिखित विवरण श्रेणियां अपनाई गई हैं:

दो अलग-अलग शहरों A और B का मासिक AQI निम्नलिखित तालिका में दिया गया है। तालिका और उपरोक्त जानकारी के आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

(i) शहर - A और शहर B के लिए AQI के आंकड़ों का परास (Range) क्या है?
(ii) शहर-A और शहर-B के लिए AQI आंकड़ों के माध्य की गणना करें?
(iii) वर्ष भर के औसत/माध्य AQI स्तरों के आधार पर, किस शहर की हवा ज्यादा स्वच्छ है?
(iv) शहर - A और शहर B के लिए AQI के आंकड़ों का प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात करें?
(v) शहर A या B में से कौन सा शहर AQI स्तरों में अधिक विचरणता दिखाता है?

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